曲線を連続写像の組であると捉えるとき、「連続」という部分を強めたり弱めたりすることができる。たとえば、仮定を弱めて高々有限個の不連続点を持つがそれ以外は連続（これを「区分的に連続」と言い表す）などとすると、一般にいくつかの曲線の和集合になる。これを曲線に入れる立場からは、この区分的に連続な写像としての曲線を区分的に連続な曲線と呼んで区別し、対して既に定義したような連続写像としての曲線を連続曲線という。これは一般に「一つのつながった曲線」つまり「弧状連結な曲線」というのとは意味が異なる。曲線が自己交差を持つことがあるからである。ただし、多項式関数 y = f(x) のグラフなどでは連続曲線と連結な曲線は同義なものになる。 また、一般に連続曲線は尖点（cusp; カスプ）を持つが、仮定を強めて「微分可能」とすると、この曲線は尖点を持たないものになる（これを滑らかと称する）。これは例えば、絶対値をとる関数 y = |x| を x = 0 を内点として含む区間 I で考えたものは微分不可能な x = 0 において尖った点を持っていることなどからわかるだろう。曲線上の任意の点で微分可能な曲線を可微分曲線あるいは滑らかな曲線という。通常は、各 xk(t) は t について区分的に十分滑らかであるなどの制限を加えることが多い。そうでなければ、たとえば平面上のあらゆる点を埋め尽くすペアノ曲線のような病的なものまでが曲線の仲間に入ってしまって不便だからである。日常語としての「曲線」はほとんどすべての場合、可微分曲線であるといってよい。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

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